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Sur les variances

Le texte qui suit n'est absolument pas de moi, mais de Hubert, formateur R (et pyrénéiste) expérimenté.

Quelques remarques sur le chapitre 3°_c) :

Rares sont les ouvrages/spécifications/modes d'emploi qui présentent les deux notions correctement :

Il n'y a qu'une seule façon de calculer la variance var(x) d'une série statistique x d'effectif n, que cette série soit celle d'un échantillon x ou celle d'une population toute entière X,
c'est (somme des carrés de écarts à la moyenne) / (effectif n de la série),
en abrégé var(x) = SCEx / n.
Lorsque l'on a un échantillon aléatoire et simple x tiré d'une population X et que l'on veut avoir, à l'aide de cet échantillon, une estimation non biaisée de la variance var(X) de la population dont est tiré cet échantillon, alors on utilise la "fameuse" formule
var-estimée(X) = SCEx / (n-1).
(minuscules et majuscules ont leur importance).
Pourquoi donc ce fameux n-1 ??? Parce que si l'on divise simplement par n on obtient une estimation biaisée de la variance de la population X.
C'est quoi une estimation non biaisée pour un statisticien : c'est que l'espérance mathématique de l'estimation tombe pile sur la variance de la population (c'est l'image de la flèche qui tombe pile en centre de la cible).
Les courageux pourront montrer que l'on a :
espérance (var(x)) = (n - 1) * var(X) / n
Le biais est de (n - 1) / n qui tend vers 1 lorsque n grandi : si l'échantillon est la population on a alors égalité. Il y a aussi d'autres critère de la qualité d'un estimateur que vous pourrez consulter dans la littérature.
Par contre la moyenne (classique) d'un échantillon aléatoire et simple est une estimation non biaisée de la moyenne de la population dont est tiré cet échantillon ...
donc pas de n - 1 dans le calcul de l'estimation de la moyenne d'une population !!

Avertissement.

Attention, la statistique et les probabilités sont pleins d'exemples contre-intuitifs : autant la variance estimée SCEx / (n - 1) à partir d'un échantillon est une estimation non biaisée de la variance de la population dont est tiré l'échantillon autant l'écart-type obtenu en prenant la racine carrée de cette variance estimée EST BIAISÉ !! Le passage à la racine carrée biaise l'estimation !!! On retrouve ce problème avec les fameuses "transformations" utilisées dans les ajustements linéaires (censées linéariser le nuage de points).

Pour approfondir :

Le langage R

Petit conseil pratique de 35 ans d'expérience professionnelle dans le traitement et l'analyse des données : les tableurs quels qu'ils soient sont de très mauvais outils pour faire du traitement de données. Les instituts, laboratoires de recherches (INSERM, INRAE, Universités, CIRAD ...) utilisent un langage de programmation libre spécialement dédié nommé R.

R est un des rares exemple où le libre a détrôné les privateurs (par exemple SAS, SPSS, Statistica ..) en nombre d'utilisateurs dans le monde ...

https://www.r-project.org/‌

https://umr-pvbmt.cirad.fr/enseignement-et-formation/formation-au-logiciel-de-statistique-r‌

https://pbil.univ-lyon1.fr/R/enseignement_div.php?contents=html/tdr1‌

‌https://lvts.fr/idf-initiation-au-logiciel-r-6/‌

https://documents.migale.inrae.fr/posts/tutorials/initiation-r/‌

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